L'angolo 0,28 rad; o 16°

Discuteremo all'interno dell'articolo un viaggio all'interno delle onde cosinusoidali, formate considerando una circonferenza di raggio unitario r=1 e percorrendo una distanza di 2π.

Consideriamo il primo quadrante della circonferenza unitaria, da 0 a π/2, e costruiamo una tabella in cui vengono rappresentati solo i valori per cui le funzioni trigonometriche si intersecano con le inverse, ossia con le funzioni che opposte rispetto alla bisetrice del 1° e 3° quadrante. In questo caso abbiamo solo quattro valori da considerare che indicheremo con x,Ο,□,Δ. Ma il più importante a cui faremo riferimento fino alla fine dell'articolo è Ο = 0,28 rad ≡ 16°, in quanto per questo valore due funzioni hanno il valore dell'angolo θ uguale al valore della funzione reciproca Reale Re.

La tabella del primo quadrante è la seguente:

  θ cotg(θ) arccotg(θ=#Re) tg(θ) arctg(θ=#Re) sin(θ) arcsin(θ=#Re) cos(θ) arccos(θ=#Re)
Ο 0,28;     0,28; 0,28; 0,28; 0,28;    
0,739;             0,739; 0,739;
Δ 0,785; 1   1          
x 0,86; 0,86; 0,86;            

La figura che localizza le funzioni trascendenti nei grafici è:

funzioni trascendenti primo quadrante

Usciti dal primo quadrante gli angoli per le funzioni come arccotg(), arctg(), arcsin(), arccos(), non possono essere uguali a se stessi, in quanto il loro valore massimo è pari ad 1. Possiamo aggiungere che per questo quadrante la bisetrice è differente e le inverse come le considera una normale calcolatrice scientifica esistono solo per il 1° e 3° quadrante.

Da π a π/2 i valori che otteniamo in tabella sono:

  θ tg(θ) cotg(θ)
Ο 2,027; -2,027;  
Δ 2,352; -1; -1;
x 2,8;   -2,8;

 

Funzioni trascendenti secondo quadrante

da π a (3/2)π

 

  θ tg(θ) cotg(θ)
Ο 3,4996;   3,4995;
Δ 3,932; 1; 1;
x 4,494; 4,494;  

Funzioni trascendenti terzo quadrante

nel quarto quadrante, da (3/2)π a 2π, le intersezioni delle funzioni trascendenti sono:

  θ tg(θ) cotg(θ)
Ο 4,9128; 4,9128;  
Δ 5,5; -1; -1;
x 6,12   6,12

il diagramma risultante delle funzioni è:

Funzioni trascendenti quarto quadrante

Inseriamo anche il diagramma che rappresenta le funzioni sin(θ) e cos(θ) per θ [0, 2π]:

sin e cos da 0 a 6,28 rad

Quest'ultimo grafico riassume tutte le intersezioni trovate nelle tabelle e rappresentate attraverso le funzioni trascendenti, nei grafici precedenti. Ora dobbiamo focalizzare la nostra attenzione sul primo quadrante, in particolare nel punto 0,28 rappresentato da un Ο per questo valore abbiamo θ=arctg(θ)=tg(θ)=sin(θ)=arcsin(θ), tutte le funzioni sono dipendenti dall'angolo ed assumono il valore di 0,28, si dovrebbe avere inoltre per ogni funzione l'intersezione sulla bisetrice con l'inversa. Questo intersezione come vediamo dai grafici avviene solo per la tg(θ) ma non avviene ne per il sin(θ) ne per cos(θ).

Vediamo il grafico della tg(θ) con la sua inversa arctg(θ):

tangente con inversa arc tangente, nell'intorno di 0,28 rad le funzioni si intersecano.

 

Come possiamo vedere è  plausibile che nell'intorno di 0,28 {[rad] e [Re] o [N]} le due funzioni si intersechino. E quindi il risultato di 0,28 fino a questo punto soddisfa l'ipotesi iniziale θ=arctg(θ)=tg(θ)=0,28.

Consideriamo ora il grafico dell'arcsin(θ) con sin(θ):

ArcSin Sin

 


Ora vediamo l'immagine proporzionata secondo la seguente proporzione: 1,57 [rad] : 5 [cm]= 1 [Re] : x [cm] {Non è possibile eseguire questa proporzione anche se si associa a Re la lunghezza del raggio r =1[Re] e si sfrutta la definizione di radiante, ossia che 1[rad] equivale all'angolo al centro di una circonferenza che intercetta un arco di lunghezza uguale a quella del raggio della circonferenza, poichè in tal caso si dovrebbe avere sempre 1[Rad]=1[Re],  condizione non rispettata dalla proporzione};IN ROSSO I CALCOLI DA NON CONSIDERARE PER VIA DELLA PROPORZIONE NON CORRELATA { x=3,185 [cm] sono i cm a cui sta l'unità 1 [Re] su una scala di 5 [cm] = 1,57 [rad].  Andiamo a calcolarci l'intersezione del seno con la sua bisetrice che in cm corrisponde a 2,75[cm] , otteniamo: 1,57[rad] : 5[cm] = x[Re] : 2,75[cm]; x = 0,8635[Re], che è l'intersezione del sin con la bisetrice e con l'arcsin, questo, vuol dire che l'intersezione grafica non corrisponde a quella numerica, trovata attraverso il calcolo e riportata su tabella al valore di 0,28 [Tipo Generico]}. Graficamente otteniamo:

Arcsin sin in scala

Come possiamo notare l'arcsin e il sin si intersecano per 0,8635 [Tipo Generico] e non per 0,28 {[rad] oppure [Re]}.

Quindi sembrerebbe sia  presente un errore nelle calcolatrici scientifiche fornite normalmente in dotazione, ma poichè non è possibile correlare [Rad] con {[Re] o [N]} si deve assumere che  0,28 [Rad] coincida con 0,28 [Re] per via analitica, e quindi deve coincidere anche per via grafica in modo da relazionare Numeri [Re] con radianti [rad]. Quindi si deve assumere che la curvatura del sin() sia più stretta di come è disegnata nel grafico e che l'immagine per avere una forma curvilinea deve avere delle variazioni di scala differenti, non come nel grafico superiore in cui sono raffigurate entrambe le funzioni.

Il grafico parziale corretto  sarà:

Relazione funzioni reciproche  trascandenti Sin Arcsin

 

In cui dal punto orizzontale viola, che corrisponde al valore Re 1 l'arcsin() non esiste.

Mentre per il cos() e l'arccos() il grafico sarà:

Relazione Funzioni trascendenti Cos() Arccos()

In cui dal trateggio orizzontale verde che corrisponde al valore Re 1,  l'arccos, non  esite.