La distribuzione sulla scala colore

 Consideriamo la figura seguente:

 La scala colore con le zone di Fraunhofer (cardini)

 

essa rappresenta un ricongiungimento di punti. é tracciata volutamente su un piano X,Y, in modo da indentificarne i punti se X risulta dipendente da Y o vice versa se Y è dipendente da X. A ciascuna casella è associato un numero che varia da 1 a 9 ed un colore che varia nella scala cromatica dal violetto al rosso.  Dunque ciascuna casella ha un colore associato e la separazione tra una casella e l'altra può essere identificata come zona di Fraunhofer, ossia una zona in cui le lunghezze d'onda per quella sensazione di colore decadono. Ad esempio il colore Verde esiste solo nella casella 5 quella centrale, ma le intersezioni con le altre onde sono rappresentate in grigio perchè esse rappresentano il colore di una delle caselle adiacenti al 5 ma che sono passate in zona di Fraunhofer.

La scala è rappresentata qui sotto, e l'unità di misura considerata sono i micrometri:

 

La scala colore può essere vista anche con un istogramma tridimensionale qui sotto, che meglio rappresenta i livelli di colore ed il gruppo di onde associato a ciascun livello. Anche se il rosso sarebbe dovuto essere più spesso in superficie del giallo perchè ha un intervallo più ampio, gli abbiamo rappresentati tutti con gli stessi livelli.

Ora dobbiamo valutare la dipendenza di della matrice X Y, perchè se troviamo che i valori rappresentati dalle intersezioni di X ed Y sono tra loro dipendenti possiamo applicare il metodo ai minimi quadrati che associa al piano X,Y una retta che ne rappresenta il valor medio, ossia andrà a fissarsi su un colore tra quelli appartententi alla scala.

Per la valutazione della dipendenza fissiamo i cardini a ciascuna zona come se stessimo delimitando una battaglia navale e suddividiamo le righe e le colonne della matrice in termini di frequenza associata a ciascun livello, in questo caso ogni riga ed ogni colonna associata ha valore pari a 15, dunque a ciascuna terna di colori è associato un livello pari a 15, la somma totale dei livelli di colore è pari a 60. Quindi abbiamo 3 terne di colore e a ciascuna terna è associata una frequenza  pari a 15, la loro somma fornisce la frequenza totale dell'evento che è 15+15+15=60

 

X\Y 1 2 3 n(xi)
1 4 3 8 15
2 9 5 1 15
3 2 7 6 15
n(yi) 15 15 15 60

In termini statistici riportiamo la frequenza totale dell'evento pari ad 1 e dividiamo dunque tutti i termini per 60. Otteniamo la colonna delle probabilità delle terne lungo X e lungo Y, queste sono discrete ed hanno tutte lo stesso valore (la loro sommatoria ) pari a 0,25.

 

X\Y 1 2 3 p(xi)
1 0,0666 0,05 0,1333 0,25
2 0,15 0,0833 0,0166 0,25
3 0,0333 0,1166 0,1 0,25
p(yi) 0,25 0,25 0,25 1

Per verificare se X ed Y sono dipendenti dobbiamo fare il prodotto trala probabilità associata ad Y e la probabilità associata ad X. Già dal primo caso otteniamo che p(x1)*p(y1)=0,0625 mentre dovrebbe essere 0,06 periodico. In ogni caso affinchè X ed Y siano indipendenti dovrebbe risultare p(xi)*p(yi)=0,0625 per ogni casella mentre come possiamo ancora notare per p(x2)*p(y2)=0,083 questo determina che le variabili X ed Y sono statisticamente dipendenti.

 

Quindi possiamo scrivere le tabelle in questo modo

X(Y) Y X*Y
4 1 4
9 1 9
2 1 2
3 2 6
5 2 10
7 2 14
8 3 24
1 3 3
6 3 18
45 18 90

oppure

 

Y(X) X Y*X
4 1 4
3 1 3
8 1 8
9 2 18
5 2 10
1 2 2
2 3 6
7 3 21
6 3 18
45 18 90

ed otteniamo che il coefficiente di correlazione della retta che approssima la distribuzione statistica y=ax+b

presenta a=0 e b=5.

In cui

a=[n*Σ(xi*yi) - Σ(xi) * Σ(yi)] / [n*Σ (xi)^2 - (Σxi)^2]

b=[[Σ(xi)^2 * Σyi] - [Σ(xi*yi) * Σxi]] / [n*Σ(xi^2) - (Σxi)^2]

Questo indica che il generatore di segnale scelto per rappresentare la distribuzione statistica d'esempio e pari al livello 5 che è quello del verde, chiamato anche tensore di green.

Rappresentato in formule matematiche leggermente più complesse da: g(r)=e^(-jβ |r-r'|)/(r-r')