Rotore del Rotore

Rotore del Rotore

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∇ x∇ xA = -∇ 2A + ∇ (∇ A)

 

∇ ∇ = (/∂x + ∂/∂y + ∂/∂z) (∂/∂x + ∂/∂y + ∂/∂z) = ∂2/∂2x + ∂/∂y ∂/∂x + ∂/∂z ∂/∂x + ∂/∂x ∂/∂y + ∂2 /∂2y + ∂/∂y ∂/∂z + ∂/∂x ∂/∂z + ∂/∂y ∂/∂z + ∂2 /∂2z = (∂2/2x + ∂2 /∂2y + ∂2 /∂2z) + 2 ∂/∂x ∂/∂y + 2 ∂/∂x ∂/∂z + 2 ∂/∂z ∂/∂y

 

2 A = (∂2/2x + ∂2 /∂2y + ∂2 /∂2z) A

 

x∇ xA = -∇ 2A + ∇ (∇ A) = {2 ∂/∂x ∂/∂y + 2 ∂/∂x ∂/∂z + 2 ∂/∂z ∂/∂y} A

In cui si è ottenuto che il rotore di rotore del vettore A è uguale alla divergenza della divergenza di A meno il laplaciano di A, che è pari alla somma dei doppi prodotti delle derivate miste spaziali del vettore A.